抛物线性质归纳、证明和应用

高三数学三轮复习试题

抛物线性质归纳、证明和应用

抛物线是平面内到定点的距离等于到定直线(定点在定直线外)的距离的点的轨迹,它是椭圆过渡到双曲线的瞬间曲线,它只有一支(双曲线有两支),只有一条对称轴,没有渐近线和对称中心,属于无心曲线.抛物线的焦半径、焦点弦性质丰富多彩,此外还有定点、定值、定弦、最值等问题也值得探讨,抛物线的许多性质也是历年高考的重点和热点,这里就它的一些性质加以归纳,说明和证明,及其在历年高考和模拟考试出现的典例. 一、焦半径、焦点弦性质

如图,AB是过抛物线 y2=2px(p>0)焦点F的弦,AD、BC是准线的垂线,垂足分别为D、C,M是CD的中点,N是AB的中点.设点A(x1,y1)、点B(x2,y2),直线AB交y轴于点K(0,y3),则: p2111⑴ ① y1y2=-p;② x1x2=;③

4y1y2y3

2

④ | AB |=x1+x2+p=

2p

( 为AB的倾斜角); sin

p22p2

⑤ S△OAB=,S梯形ABCD=..

2sin sin ⑵

112+ | AF || BF |p

⑶ ∠AMB=∠DFC=Rt∠; ⑷ AM、BM是抛物线的切线;

⑸ AM、BM分别是∠DAB和∠CBA的平分线; ⑹ AM、DF、y轴三线共点,BM、CF、y

抛物线性质归纳、证明和应用

⑺ A、O、C三点共线,B、O、D三点共线; ⑻ 若| AF |:| BF |=m:n,点A在第一象限,

为直线AB的倾斜角. 则cos =

m-n

; m+n

⑼ 以AF为直径的圆与y轴相切,以BF为直径的圆与y轴相切; 以AB为直径的圆与准线相切.

⑽ MN交抛物线于点Q,则,Q是MN的中点.

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