高三复习提纲——《平面向量》答案

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高三复习提纲——《平面向量》

一、常用结论

(一)向量的几何运算

1、,,2OA OB BA OA AB OB OA OB OM -=+=+=(M 为AB 中点)

2、数量积:cos a b a b θ⋅=,a 在b 方向上的投影=cos a b a b

θ⋅=

3、不等关系:a b a b ⋅≤;a b a b a b -≤±≤+

(二)平面向量的坐标运算 1、(),a x y a xi y j =⇔=+;2、()(),,OA x y A x y =⇔; 3、()()()11222121,,,,A x y B x y AB x x y y ⇒=--;(AB x =

4、若()()1122,,,,a x y b x y R λ==∈,则 (1)()1212,a b x x y y ±=±±;(2)()11,a x y λλλ=;(3)2a x =+ (4)1212a b x x y y ⋅=+;

(5)1

cos x y θ=

+;

(6)1221//a b x y x y ⇔=; (7)12120a b x x y y ⊥⇒+=;

二、对向量夹角的考查(cos a b a b

θ⋅=

1、记号:θ=,a b <>;

2、范围:[]0,θπ∈,02

π

θθπθ=⇔⇔=

⇔同向;=反向;垂直;

3、只有非零向量才有夹角概念;作角时两向量必须共起点;

4、,;,;,OA OB AOB AO BO AOB OA AB AOB π<>=∠<>=∠<>=-∠.

5、,a b <>为直角:()

0,0a b a b ⋅=≠其中; 6、,a b <>为锐角:()

00a b a b λλ⋅>≠>且; 7、,a b <>为钝角:()00a b a b λλ⋅<≠<且 [范例解析]

1、已知平面向量a =(3,4),b =(9,x ),c =(4,y ),且a ∥b ,a ⊥c .

(1)求b 和c ;

(2)若m =2a -b ,n =a +c ,求向量m 与向量n 的夹角的大小.

2、已知a =(1,3),b =(1,1),c =a +λb ,若a 和c 的夹角是锐角,则λ的取值范围是( )

A.⎝ ⎛⎭⎪⎫-52,+∞

B.⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,-52 C .{0} D.⎝ ⎛⎭⎪⎫

-52,0∪(0,+∞)

3、已知a =(1,0),b =(0,1),当k 为整数时,向量m =ka +b 与n =a +kb 的夹角能否为60°?证明你的结论.

O A

B

a

b

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