2019高考数学总复习优编增分练:高考附加题加分练七计数原理答案

中小学教育教学资料

(七)计数原理

1.已知等式(x 2+2x +2)5=a 0+a 1(x +1)+a 2(x +1)2+…+a 9(x +1)9+a 10(x +1)10,其中a i (i =0,1,2,…,

10)为实常数.

求:(1)∑n =1

10

a n 的值;

(2)∑n =1

10

n a n 的值.

解(1)在(x 2+2x +2)5=a 0+a 1(x +1)+a 2(x +1)2+…+a 9(x +1)9+a 10(x +1)10中, 令x =-1,得a 0=1.

令x =0,得a 0+a 1+a 2+…+a 9+a 10=25=32.

所以∑n =1

10

a n =a 1+a 2+…+a 10=31.

(2)等式(x 2+2x +2)5=a 0+a 1(x +1)+a 2(x +1)2+…+a 9(x +1)9+a 10(x +1)10两边对x 求导, 得5(x 2+2x +2)4·(2x +2)=a 1+2a 2(x +1)+…+9a 9(x +1)8+10a 10(x +1)9. 在5(x 2+2x +2)4·(2x +2)=a 1+2a 2(x +1)+…+9a 9(x +1)8+10a 10(x +1)9中,

令x =0,整理得∑n =1

10

n a n =a 1+2a 2+…+9a 9+10a 10=5·25=160.

2.设等差数列{a n }的首项为1,公差为d (d ∈N *),m 为数列{a n }中的项.

(1)若d =3,试判断⎝ ⎛⎭

⎪⎫x +1x m 的展开式中是否含有常数项?并说明理由; (2)证明:存在无穷多个d ,使得对每一个m ,⎝

⎛⎭⎪⎫x +1x m 的展开式中均不含常数项. (1)解 因为{a n }是首项为1,公差为3的等差数列,

所以a n =3n -2.

假设⎝ ⎛⎭

⎪⎫x +1x m 的展开式中第r +1项为常数项(r ∈N ), T r +1=Cr m x m -r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r =,于是m -32

r =0. 设m =3n -2(n ∈N *),则有3n -2=32

r , 即r =2n -43,这与r ∈N 矛盾.

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