热力学统计物理 课后习题 答案

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第四章 多元系的复相平衡和化学平衡

4.1 证明:若将U看作独立变量T,V,n1, ,nk的函数,试证明 (1) U

ni

i

U U

V

ni V

(2) ui

U U

vi

ni V

解:(1)多元系的内能U U T,V,n1 nk 是变量V,n1, ,nk的一次齐函数。根据εular定理,

' U U T, V, n1 nk , xi

i

f

mf xi

xi

i

U f U ni V U ------------------(1) n xi V T,V,nj i T,V,nj

式子中偏导数的下标ni指全部K个组元,nj指除i组元外的其他全部组元。 (2)根据体积和内能为广延量,有V

nv ,U nu --------------------(2)

ii

ii

i

i

根据(1)结论 U

ni

i

U U

------------------(1) V

ni V

将(2)式代入(1)式,有

U niui ni

i

i

U U U U

------------------(3) V ni nivi

n V ni Viii

U U

vi

ni V

上式对ni的任意取值都成立,故有ui

4.2证明 i(T,P,n1, ,nk)是n1, ,nk的零次齐函数,

ni(

i

i

) 0。 nj

证明:根据式 i ------------------(1) n

i T,P,n

j

G

i是第i个组元的化学势。

G是广延量,是n1, ,nk的一次齐函数,即

G T,p, n1 nk G T,p,n1 nk ------------------(2)

将上式对 求导,有 左式=

( ni) G

T,p, n1 nk G T,p, n1 nk ( ni)

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