热力学统计物理 课后习题 答案

热力学统计物理 课后习题 答案

第七章 玻耳兹曼统计

7.1试根据公式P

2

al

l

L

证明,对于非相对论粒子 V

2UP21 2 222

P ,( )有 n,n,n 0, 1, 2, n n n xxyzyz

3V2m2m L

上述结论对于玻尔兹曼分布,玻色分布和费米分布都成立。

证明:处在边长为L的立方体中,非相对论粒子的能量本征值为

n

x,ny,nz

P21 2 222 nx ny nz ( nx,ny,nz 0, 1, 2, )-------(1) 2m2m L

2

为书写简便,我们将上式简记为 aV

3

-----------------------(2)

(2 )2222

nx ny nz其中V=L是系统的体积,常量a ,并以单一指标l代表nx,ny,nz三2m

个量子数。 由(2)式可得

L22 l aV ---------------------(3) V33V

代入压强公式,有P 式中 U

al

l

L2

V3V

al l

l

2U

----------------------(4) 3V

a

ll

l

是系统的内能。

上述证明未涉及分布的具体表达式,因此上述结论对于玻尔兹曼分布,玻色分布和费米分布都成立。 注:(4)式只适用于粒子仅有平移运动的情形。如果粒子还有其他的自由度,式(4)中的U仅指平动内能。 7.2根据公式P

al

l

L

证明,对于极端相对论粒子 V

2 22

cp cnx ny nz2

L

, nx,ny,nz 0, 1, 2, 有P

1U

3V

上述结论对于玻尔兹曼分布,玻色分布和费米分布都成立。

证明:处在边长为L的立方体中,极端相对论粒子的能量本征值为

n

x,ny,nz

c

2 22

nx ny nz2L

, nx,ny,nz 0, 1, 2, -------(1)

为书写简便,我们将上式简记为 aV

-----------------------(2)

2

2

2

其中V=L3是系统的体积,常量a 2 cnx ny nz个量子数。

,并以单一指标l代表nx,ny,nz三

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