初中数学竞赛专题 勾股定理及其应用

初中数学竞赛专题培训 勾股定理与应用

勾股定理 直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边c的平方,即a+b=c. 勾股定理逆定理 如果三角形三边长a,b,c有下面关系:

a2+b2=c2

那么这个三角形是直角三角形.

早在3000年前,我国已有“勾广三,股修四,径阳五”的说法.

关于勾股定理,有很多证法,在我国它们都是用拼图形面积方法来证明的.下面的证法1是欧几里得证法.

证法1 如图2-16所示.在Rt△ABC的外侧,以各边为边长分别作正方形ABDE,BCHK,ACFG,它们的面积分别是c2,a2,b2.下面证明,大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和. 过C引CM∥BD,交AB于L,连接BG,CE.因为

AB=AE,AC=AG,∠CAE=∠BAG,

所以△ACE≌△AGB(SAS).而

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所以 SAEML=b2. ① 同理可证 SBLMD=a. ② ①+②得

SABDE=SAEML+SBLMD=b2+a2,

即 c2=a2+b2.

证法2 如图2-17所示.将Rt△ABC的两条直角边CA,CB分别延长到D,F,使AD=a,BF=b.完成正方形CDEF(它的边长为a+b),又在DE上截取DG=b,在EF上截取EH=b,连接AG,GH,HB.由作图易知

△ADG≌△GEH≌△HFB≌△ABC,

所以

AG=GH=HB=AB=c,

∠BAG=∠AGH=∠GHB=∠HBA=90°,

因此,AGHB为边长是c的正方形.显然,正方形CDEF的面积等于正方形AGHB的面积与四个全等的直角三角形(△ABC,△ADG,△GEH,△HFB)的面积和,即

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