2002高教社杯全国大学生数学建模竞赛

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A题 车灯线光源的优化设计 参考答案

注意:以下答案是命题人给出的,仅供参考。各评阅组应根据对题目的理解及学生的解答,自主地进行评阅。

一. 假设和简化 (略)

二. 模型的建立

建立坐标系如下图,记线光源长度为l ,功率为W,B,C点的光强度分别为hB(l)W和hC(l)W,先求hB(l)和hC(l)的表达式,再建立整个问题的数学模型.

x2 y2

以下均以毫米为单位,由所给信息不难求出车灯反射面方程为z ,焦点坐标为(0,0,15)。

60

1) 位于点P(0,w,15)的单位能量的点光源反射到点C(0, 2600, 25015)的能量

x2 y2

).记入射向量为a,该点反射面外法线方向为b,不难得到反射向量c设反射点的坐标为Q(x,y,

60

满足

2a b

c a 2b.

b

记r2 x2 y2,由

2

a (x,y w,r 15),

b (x/30,y/30, 1)

从而得c (cx,cy,cz)的表达式

2xywr2 900

w(2y2 r2 900)

cy

r2 900

r4 1800r2 3600wy 810000cz

60(r2 900)

cx

注意到反射光通过C点,应有

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