第5章 电磁波的辐射

电动力学 郭硕鸿 第四版 课后答案

第五章 电磁波的辐射

1.若把麦克斯韦方程租的所有矢量都分解为无旋的(纵场)和无散的(横场)两部分,写出E和B的这两部分在真空中所满足的方程式,并证明电场的无旋部分对应于库仑场。

解:把方程组中所有矢量都分解为无旋的纵场和无散的横场,分别用角标L和T表示。

由于 B 0,所以B本身就是无散场,没有纵场分量,即BL 0,B BT; E EL ET, EL 0, ET 0;J JL JT, JL 0, JT 0;

由真空中的麦克斯韦方程组: E 得: (EL

ET) ET

BT t

B t

; E

0

0

; B 0J 0 0; BT

0JL 0 0

E t

EL t

0JT 0 0

ET t

; (EL ET) EL

由电荷守恒定律 J 所以JL 0

EL t

t

,得: JL

EL t

0

EL

0

t t

;又因为 JL 0 0

ET t

EL

t

,即JL 0

BT t

,从而 BT 0JT 0 0

ET t

; EL

EL t

0

所以有方程组: ET

; BT 0JT 0 0

0

;BL 0;JL 0

成立。

由 EL 0引入标势 ,EL ,代入 EL / 0得, 2 / 0

2.证明在线性各向同性均匀非导电介质中,若 0,J 0,则E和B可完全由矢势A决定。若取 0,这时A满足哪两个方程?

解: 0,J 0,则麦氏方程表示为: E

引入矢势A,使B A,于是得: E

B t

; H

D t

; D 0; B 0

,使E

A t

A

0,由此引入标势 t

于是得: 2

( A) t

0,所以,

2

可由A决定,进而,E也可完全由矢势A决定。

A t

22

如果取 0,则得: A 0, A 0

zc

3.证明沿z轴方向传播的平面电磁波可用矢势A( )表示,其中 t 证:平面电磁波在没有电荷分布的空间中传播满足: A 0 0

满足条件 A 0 0

t

0下,沿

2

,A垂直于z轴方向。

2

A t

2

2

0; 0 0

i(kz t)

t

2

2

0

A ,

z轴方向传播平面波解为:A A0e

A0e

z

i t

c

ik x*

aa(t)e]4.设真空中矢势A可用复数傅里叶展开为A(x,t) [ak(t)eik x a*,其中 k是k的复共轭。k

(a)证明

d

22

22

ak(t) kcak(t) 0;(b)取 A 0规范,证k ak 0;(c) 0,把E和B用ak和a* k表示。

dt

解:(a)证明:根据傅立叶级数的正交性,必有:ak(t) A(x,t)e

洛伦兹规范下, A 0 0所以

dak(t)dt

22

2

ik x

dx,于是

2

dak(t)dt

22

2

A(x,t) t

2

2

ik x

dx

A t

2

2

0J,真空中J 0,故, A 0 0

2

ik x

A t

2

2

2

e(c A)dx e

ik x22

ckAdx kcak(t);进而

ik x

2222

dak(t)dt

2

kcak(t) 0

ik x

(b)选取规范 A

[a

k

(t) e

ik x

ak(t) e

*

]

[ik a

k

(t)e

ik x

ik ak(t)e

*

] 0

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